Друзья, всё заработало! Обратился в службу поддержки, получил ответ:
Убедитесь что Internet Explorer у Вас установлен как браузер по умолчанию и что все действия с сайтами, касающиеся WebMoney Вы производите через него. Убедитесь что версия Internet Explorer установлена 7.0 или выше.
Попробуйте выполнить настройку браузера авто-настройками
Очистите кэш и cookies
Попробуйте вручную установить сертификат системы для HTTPS протокола
Установил Internet Explorer по умолчанию (хотя он у меня и открывался при входе на сайт) и проблема отпала. Видимо, при обновлении Windows или установке каких - нибудь программ (недавно обновил Java) сбиваются настройки Internet Explorer.